Brüche - Fit in Mathematik

Die natürlichen Zahlen und ihre Grenzen

Sicher kennst du die natürlichen Zahlen, das sind die Zahlen 1, 2, 3, … Für die Menge der natürlichen Zahlen verwendet man das Symbol $\mathbb{N}$ und schreibt in Mengenschreibweise $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ . Beachte: Die Null gehört nicht zu den natürlichen Zahlen. Möchte man die Null hinzunehmen, so schreibt man $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ .

Die Division zweier natürlicher Zahlen $a : b$ ist nur möglich, wenn $a$ durch $b$ teilbar ist, zum Beispiel $6 : 2 = 3$ . Aber was ist, wenn du zum Beispiel zwei Pizzen auf drei Personen aufteilen möchtest? $2 : 3$ ist nicht innerhalb der natürlichen Zahlen lösbar, da $2$ nicht durch $3$ teilbar ist.

Erweiterung des Zahlenbereichs um die gebrochenen Zahlen

Dennoch gibt es eine Lösung: Du teilst die zwei Pizzen jeweils in drei gleich große Teile und gibst jeder Person zwei dieser Teile. Die Pizzamenge, die jede Person bekommt, ist größer als 0 (denn jede Person bekommt Pizza) und kleiner als 1 (denn insgesamt hat jede Person weniger als eine ganze Pizza). Solche Zahlen, die zwischen zwei natürlichen Zahlen (hier einschließlich der Null) liegen, nennt man gebrochenen Zahlen, Bruchzahlen oder einfach Brüche.

Gebrochene Zahlen darstellen als gemeinen Brüche oder als Dezimalzahlen.

So lässt sich zum Beispiel das Ergebnis der Division $6 : 8$ darstellen durch die gemeinen Brüche $\frac{6}{8}$ oder $\frac{3}{4}$ oder durch die Dezimalzahl $0{,}75$ .

Natürliche, ganze und rationale Zahlen

Die einfachsten Zahlen sind die oben genannten natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ . Nehmen wir die 0 und die negativen ganzen Zahlen (also die natürlichen Zahl mit einem Minus davor) hinzu, erhalten wir die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ . Erweitern wir diesen Zahlenbereich nun noch um die gebrochenen Zahlen, so erhalten wir die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ . Die Menge der rationalen Zahlen umfasst alle Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen lassen:

$\mathbb{Q} := \Bigg\{ \frac{p}{q} \Bigg| p, q \in \mathbb{Q} \Bigg\}$

Damit können Brüche auch negativ sein. In der Menge der rationalen Zahlen ist die Division (außer durch null) immer ausführbar. Damit haben wir eine Lösung für das eingangs beschriebene Problem gefunden.